「当選確率が2倍に！」の解釈 - 貳佰伍拾陸夜日記

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さらに、このキャンペーンページをあなたのはてなブックマークに追加すると、当選確率が2倍に！この機会にぜひはてなブックマークもご利用開始ください。
※ブックマークだけでは応募できません。応募には、ダイアリーの投稿が必須となります。
MacBook Air 11インチ欲しい！

と書いてあって, この意味を誤って解釈したせいで2倍になる理由がわからずに悶々としたので, どう誤ったか, 本来はどういう意味なのかまとめておく.

前提条件

1名の当選者は, 「少なくともダイアリーを書いた人」のリストに, 「ブックマークもした人」のリストを加えたリストからランダムに選択して決めるとする. つまり, 「ダイアリーに書いただけの人」は1口だけの応募, 「ブックマークもした人」は2口の応募と見做す.

誤った解釈

...に追加すると、ブックマークに追加しなかった場合と比べて、当選確率が2倍に！

この解釈だと2倍にならない.

ブックマークに追加しなかった場合の「少なくともダイアリーを書いた人」の人数を $D_1$ 人, 「ブックマークもした人」の人数を $B_1$ 人とする. この場合, 自分は $D_1$ 人の方に含まれていて, 当選確率は

$\frac{1}{D_1+B_1}$

となる.

ブックマークに追加した場合, 「少なくともダイアリーを書いた人」の人数は $D_1$ 人のままで, 「ブックマークもした人」の人数は $B_1+1$ 人になり, 自分は $D_1$ 人と $B_1+1$ 人の両方に含まれていて, 当選確率は

$\frac{2}{D_1+B_1+1}$

となる. 分母に1が加算されている分, 「2倍」よりは少しだけ低い確率になってしまう.

正しい解釈

...に追加すると、ダイアリーに書いただけの人と比べて、当選確率が2倍に！

この解釈なら正しい.

「ダイアリーに書いただけの人」の人数を $D_2$ 人, 「ブックマークもした人」の人数を $B_2$ 人, それぞれの人の当選確率を $p_D$ , $p_B$ とする.

「ブックマークもした人」の当選確率は, 「ダイアリーに書いただけの人」の当選確率の2倍だと言っているので,

$2p_D = p_B \qquad \cdots\;(1)$

でなければならない. 「ダイアリーに書いただけの人」と「ブックマークもした人」それぞれのうち当選する人の人数の期待値は $D_2p_D$ 人と $B_2p_B$ 人で, 全体では1名だけが当選するので,

$D_2p_D + B_2p_B = 1 \qquad \cdots\;(2)$

が成り立っていなければならない.

(1)と(2)からなる連立方程式は

$\begin{array}{lcl} p_D &=& \frac{1}{D_2+2B_2} \\ p_B &=& \frac{2}{D_2+2B_2} \end{array}$

という一意な解を持つ. さらに, $p_D$ , $p_B$ の分母の $D_2+2B_2$ は, 「少なくともダイアリーを書いた人」の人数( $D_2+B_2$ 人)と「ブックマークもした人」の人数( $B_2$ 人)を合わせたものになっており, $p_D$ の分子は, 「ダイアリーに書いただけの人」は1口, $p_B$ の分子は「ブックマークもした人」は2口ということを表し, 前提条件にも合致する.

従って, 確かに「ブックマークもした人」の当選確率は「ダイアリーに書いただけの人」の当選確率の2倍になる.

感想

結果的には確かに「ダイアリーに書いただけ」の他人と比べれば当選確率が2倍になっているけれど, 「ダイアリーに書いただけ」だったかも知れない並行世界の自分と比べると2倍にならないので, 「今自分はどう行動すべきか」と考えているときに「2倍になりますよ!」と言われたら「え, ならないじゃん」と勘違いしても仕方ない気がする. 「ブックマークにも追加することで2口応募できます」とだけ言われればすんなり受け入れられたのに......